O Método dos Isomorfismos Parciais: Um Estudo da Expressabilidade Matemática
Synopsis
O método dos isomorfismos parciais: Um estudo da expressabilidade matemática (digital)
Verifique a disponibilidade para aquisição desse volume impresso >>aqui<<
“Esta obra é uma exposição detalhada de alguns “métodos metamatemáticos dirigidos ao estudo da expressabilidade dos conceitos matemáticos e de suas limitações, entendendo por metamatemática o estudo de tais conceitos enquanto objetos susceptíveis de tratamento matemático.
Este tema pode ser situado na área de teoria de modelos, cujo enfoque geral acerca das estruturas matemáticas permite unificar diversas noções próprias da álgebra, da topologia e mesmo da análise.
Obviamente, nossa primeira preocupação é definir de forma rigorosa o que entendemos por conceito matemático e expressabilidade. No início do Capítulo 1, já delineamos a primeira dessas noções, propondo uma interpretação matemática da mesma em termos de classes de estruturas matemáticas. Por outro lado, a segunda delas é definida no Capítulo 2, a partir da noção de axiomatizarão.
Nosso propósito inicial, dado que este tema é pouco conhecido nos círculos de pós-graduação em matemática, foi mostrar algumas técnicas de teoria de modelos com aplicações de interesse para a matemática.
Para tal efeito, escolhemos a técnica de extensão de isomorfismos parciais, ou back-and-forth (introduzida no Capítulo 1), como eixo central deste trabalho, complementada com a técnica de ultraprodutos, ambas de caráter puramente algébrico e de especial importância no estudo da expressabilidade.
Dado que a metamatemática é também reflexão sobre a matemática, achamos que o tema escolhido devia ser complementado com exemplos esclarecedores e ilustrado com aplicações a diversas áreas da matemática.
Do ponto de vista metodológico, foi necessário começar diferenciando os aspectos algébrico-conjuntistas das estruturas matemáticas dos seus aspectos linguísticos, propondo sistemas de referência apropriados para o desenvolvimento de cada um deles. Tais sistemas de referência são chamados neste trabalho de referencial algébrico e referencial linguístico, respectivamente.
Destacamos, no primeiro deles, a noção de isomorfismo, e, no segundo, a noção de equivalência elementar, esta última relativa a cada linguagem formal introduzida. A inter-relação entre isomorfismo e equivalência elementar é a motivação principal para este estudo.
Tal inter-relação é semelhante, por exemplo, à que. ocorre em topologia algébrica entre as noções de homeomorfismo de espaços topológicos e isomorfismo entre seus respectivos grupos fundamentais: é sabido que noções topológicas são traduzidas com proveito a noções algébricas, embora isso não signifique que sejam equivalentes.
Em nosso caso, propriedades algébricas das estruturas matemáticas (por exemplo, a noção de isomorfismo) são também traduzidas de maneira frutífera a noções semântico-lingúísticas (como a de equivalência - elementar).
Podemos dizer, então, que o tema central deste estudo é a exposição dos teoremas de caracterização “algébrica da equivalência elementar como uma tentativa de aproximar ambos os referenciais mencionados.
A seguir, descrevemos o conteúdo de cada capítulo.
No Capítulo 1, apresentamos os diversos tipos de estruturas matemáticas do ponto de vista algébrico: estruturas relacionais e estruturas algébricas em geral. Damos especial atenção às estruturas com domínios duplos, que no texto chamamos de bissortidas, casos. interessantes das quais são as estruturas topológicas, e “as estruturas algébricas do tipo dos espaços vetoriais, módulos, etc.
Como justificativa para o estudo de estruturas bissortidas destacamos, por exemplo, que o conceito de homeomorfismo da topologia geral corresponde ao de isomorfismo entre estruturas algébricas bissortidas adequadas.
No desenvolvimento deste capítulo, incluímos alguns conceitos que aparecem de forma: bastante natural, como o de quase-homeomorfismo (ver 1.4.4), com aplicações, no Capítulo 3, ao estudo da topologia ele-: mentar do espaço de estruturas.
No Capítulo 2, introduzimos diversas linguagens “formais adequadas aos tipos de estruturas definidos no Capítulo 1, como as linguagens de 1º ordem L! e de 2ª ordem L², junto com seus fragmentos L² -monádica, diádica, etc., e a linguagem de 2ª ordem fraca L²w, todas motivadas no início do capítulo com diversos exemplos.
Neste capítulo, definimos a relação semântica de satisfação, que é a conexão fundamental entre os referenciais acima mencionados.
Em termos desta relação é possível definir a expressabilidade de um conceito matemático como a possibilidade de axiomatização da classe de estruturas que são sua referência.
São introduzidas também algumas propriedades de teoria de modelos, como as propriedades de isomorfismo, de categoricidade e de Karp.
Destacamos a introdução do conceito de L-equivalência de classes (ver 2.5.3), que generaliza o de equivalência elementar e permite, de um ponto de vista uni[1]ficado, dar novas formulações, por exemplo, de algumas das propriedades de teoria de modelos mencionadas.
No Capítulo 3, damos alguns outros critérios para a análise da expressabilidade, iniciada no capítulo anterior, fundamentalmente relacionados com a propriedade de compacidade, além de discutir os teoremas de Löwenheim-Skolem e os números de Hanf.
Para este propósito, introduzimos uma topologia adequada no espaço de estruturas, e apresentamos o “método de ultraprodutos e o teorema fundamental de Los como técnicas especiais.
Dado que a relação entre as estruturas e as linguagens que lhe são adequadas é de caráter semântico ou interpretativo, decidimos desenvolver todo o trabalho sem apelar à noção sintática de derivabilidade. Isso justifica plenamente a introdução do método de ultraprodutos, já que as demonstrações mais conhecidas, de caráter puramente semântico, da propriedade de compacidade, são feitas usando ultraprodutos, além de ser - uma técnica de construção de modelos por si mesma importante para as aplicações.
Devemos destacar neste capítulo um argumento contra a possível extensão do teorema de Log para a linguagem de 2º ordem monádica (ver 3.2.6). Igualmente, destacamos a discussão do Princípio de Lefschetz da geometria algébrica como uma das aplicações mais interessantes do problema da expressabilidade. Apresentamos, também, uma demonstração não-standard. do Teorema de Hahn-Banach, baseada fundamentalmente na técnica de ultraprodutos.
No Capítulo 4, introduzimos as linguagens infinita: rias como ambiente natural para a interação entre os isomorfismos parciais e a equivalência elementar, obtendo como resultados principais os teoremas de caracterização algébrica da equivalência elementar em diversas linguagens, em termos da existência de certa coleção de isomorfismos parciais. Incluímos, também, o Teorema de Fraissé que caracteriza a equivalência ele[1]mentar correspondente à linguagem de 1º ordem.
Enfim, neste capítulo também são apresentadas generalizações dos teoremas de Los e de compacidade, mostrando a forte dependência destas noções com as propriedades conjuntistas dos números cardinais.
No final, apresentamos uma pequena discussão acerca da comparação do poder expressivo entre as linguagens formais.
Noções de teoria de conjuntos, como se explica no início do Capítulo 1, são usadas frequentemente: entre elas, a diferença entre classes e conjuntos, e propriedades gerais dos números ordinais e cardinais. Muitas vezes usaremos os símbolos “=>” por “implica”, “ó” por “equivale”, “Ɐ” por “para todo” e “ⱻ” por “existe”, como parte da linguagem matemática coloquial. “
Este trabalho pretende ser auto-contido e está dirigido para estudantes e estudiosos da matemática em nível de pós-graduação que tenham poucos conhecimentos da teoria de modelos e da lógica matemática em geral. Obviamente, para um especialista, algumas noções estarão insuficientemente tratadas, e outras estarão tratadas de forma abundante, mas nossa intenção é despertar o interesse dos primeiros.
Algumas provas são feitas de forma distinta da usual, em virtude de ilustrarem algumas propriedades introduzidas, como é o caso da demonstração do Princípio de Lefschetz a partir de uma versão fraca do Teste de Vaught.
Este estudo foi apresentado como Dissertação de Mestrado em Matemática no Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da UNICAMP em junho de 1988 e esta edição traz ligeiras modificações com relação à versão original.”
José Carlos Cifuentes Vásquez
ISSN: 0103-3147
Primeira Edição, 1992
Índice para catálogo sistemático
1. Metamatemática 510.1
2. Lógica simbólica e matemática 511.3
OBS: O objetivo central deste trabalho é o estudo da expressabilidade dos conceitos matemáticos, através das classes de estruturas matemáticas que são sua referência. Neste contexto, a expressabilidade traduz[1]se na possibilidade de axiomatização dessas classes em diversas linguagens formais. Para este efeito são introduzidas as linguagens de primeira ordem, de ordem superior e infinitárias.
References
