Sistemas Axiomáticos Formalizados: a questão da desinterpretação e da formalização da axiomática
Synopsis
Sistemas Axiomáticos Formalizados: a questão da desinterpretação e da formalização da axiomática (digital)
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Resumo
“O método axiomático não é, em geral, o método privilegiado de investigação matemática, mas é o preferido quando se trata de compreender os aspectos lógicos e epistemológicos da atividade matemática.
Sua origem remonta à Grécia clássica, tendo nos Elementos de Euclides sua expressão mais eloquente. O método axiomático é a realização, no campo da matemática, do ideal arquitetônico de ciência preconizado por Aristóteles.
Seu desenvolvimento, ao longo da história da matemática, até pelo menos o século XIX, esteve ligado à Geometria. As fracassadas tentativas de demonstrar a dependência lógica do quinto postulado de Euclides, o postulado das paralelas, dos outros quatro, que na verdade é independente deles, exigiam a aplicação conscienciosa desse método.
A criação da geometria projetiva e dos métodos analíticos em geometria a partir do século XVII, em especial na França, colocou momentaneamente o método axiomático em segundo plano; porém, a descoberta das geometrias não-Euclidianas, nascidas das duas possíveis negações do postulado das paralelas, por Gauss, Lobachevsky e Bolyai, no início do século XIX, e depois por Riemann, obrigou a um retorno aos fundamentos da Geometria, à tarefa de deslindar as propriedades afim, projetivas e topológicas do espaço das suas propriedades métricas e investigar as consequências lógicas de cada um desses grupos separadamente. E para isso o método axiomático mostrou-se insuperável.
O método conhece seu apogeu com Hilbert na passagem do século XIX para o XX. Com ele, pela primeira vez, a Geometria Euclidiana e a Análise são axiomatizadas segundo os critérios modernos de rigor lógico e essas axiomatizações submetidas à análise meta-matemática. Para isso, porém, era mister reduzir essas teorias axiomáticas a seus arcabouços formais. Isso é o que Arno Viero chama “desinterpretação”.
Este texto é uma análise rigorosa e inteligente do movimento de desinterpretação que, a partir do começo do século XX, irá propor uma reinterpretação do método axiomático, e a que propósitos esse movimento servia. Dada sua origem como uma dissertação de mestrado apresentada ao Departamento de Filosofia da PUC-Rio sob a orientação de Oswaldo Chateaubriand, este texto de Arno Viero é também surpreendentemente maduro. O autor analisa de maneira incisiva e original o desenvolvimento da geometria axiomática de sua origem com Euclides ao formalismo do século XX. Infelizmente, Arno nos deixou pela mão de um assassino, que nos privou não apenas da convivência com o autor e amigo, mas de trabalhos futuros cuja qualidade este trabalho afiançava de antemão.”
Arno Aurélio Viero
Editores:
Oswaldo Chateaubriand
Jairo José da Silva
Vivianne Figueiredo
VOLUME 60 — 2011
ISSN: 0103-3247
Indice para catálogo sistemático
- Lógica simbólica e matemática 511.3
- Axiomas 511.3
OBS. Este texto é uma análise rigorosa e inteligente do movimento de desinterpretação que, a partir do começo do século XX, irá propor uma reinterpretação do método axiomático, e a que propósitos esse movimento servia. O autor analisa de maneira incisiva e original o desenvolvimento da geometria axiomática de sua origem com Euclides ao formalismo do século XX.
References
