Intuición y Pensamiento: La Concepción Fregeana de la Geometría

Intuición y Pensamiento: La Concepción Fregeana de la Geometría (digital)

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“El siglo XIX fue una época de ebullición en lo que al desarrollo de las teorías matemáticas respecta. Gran parte de las distintas ramas de las matemáticas que conocemos al presente tuvieron su otigen o sufrieron cambios considerables en dicho periodo histórico, el cual se caractetrizó por ser uno en el que las teotías matemáticas se encontraban en una etapa de transición hacia níveles cada vez más abstractos. De entre el gran número de descubrimientos matemáticos que tuvieron lugar durante la referida época, el surgimiento de las llamadas “ceometrías no euclidianas” se destaca como uno de los principales y más influyentes logros. Dicho descubrimiento ha sido catalogado por muchos como una trevolución en el pensamiento matemático, comparable en sus implicaciones con la revolución copernicana en la física y la cosmología, y con la revolución darwiniana en la biología; pues el surgimiento de los nuevos sistemas geométricos puso en entredicho la concepción clásica de la milenaria geometría euclidiana considerada por más de dos mil afios como la ciencia que proveía una descripción fiel y exacta del espacio físico, y tenida por muchos como el paradigma del pensamiento racional.

La coexistencia de los nuevos sistemas geométricos llevó a los matemáticos a repensar las concepciones clásicas acerca del conocimiento geométrico y de la geometría como ciencia del espacio físico. A tales efectos, los matemáticos fueron adoptando paulatinamente nuevas posturas que le distanciaban de la concepción clásica de la geometria. El punto culminante de dicha tendencia tiene su mayor exponente en la figura del matemático alemán David Hilbert, quien en 1899 publicó sus Fundamentos de la geometria, obra en la cual propone una interpretación formalista de la geometria. Especificamente, el formalismo propuesto por Hilbert consiste en describir a la geometría como una ciencia intrínsecamente abstracta y deductiva desligada por completo de cualquier ámbito o dominio de aplicación. Dicha interpretación le permitió a Hilbert justificar la coexistencia de los distintos sistemas geométricos incompatibles entre sí, al mismo tiempo que proveyó una axiomatización de la geometría euclidiana. A pesar de que su propuesta fue aceptada por la gran mayoría de la comunidad matemática, hubo algunos matemáticos que se opusieron a una tal interpretación, entre ellos, Gottlob Frege.

Tras haber leído la obra de Hilbert, Frege le escribió una carta para dejarle saber sus dudas y su descontento con su propuesta formalista y, a consecuencia de esto, sutgió una polémica epistolar entre ambos pensadores en torno a los fundamentos de la geometria. La referida polémica entre Frege y Hilbert forma parte de un capítulo fundamental de la historia de las matemáticas, dada la natutaleza de los temas que allí se discuten. Entre los temas discutidos por éstos cabe destacar los siguientes: la posibilidad de llevar a cabo axiomatizaciones de distintos sistemas geométricos, la importancia e implicaciones de las demostraciones de independencia y consistencia de los axiomas de una teoría matemática, la naturaleza de la verdad y la existencia matemática, la fuente de justificación de los axiomas de la geometria; y asuntos más generales pertenecientes a la filosofia y metodología de la lógica, tales como la naturaleza del método axiomático y el rol de las definiciones en una teoría axiomática.

El presente trabajo tiene como propósito llevar a cabo un análisis de la concepción fregeana de la geometria a la luz de lo dicho por Frege en su correspondencia con Hilbert, así como en los escritos en los que éste expresa sus posturas con respecto a la natutaleza del conocimiento geométrico. Como es sabido, a Frege se le conoce principalmente como el “padre de la lógica moderna”, así como por ser el principal exponente de la tesis logicista, programa que tenífa como objetivo último reducir la aritmética a la lógica. Por dichas razones, gran parte de la literatura acerca de la obra de Frege se ha enfocado tradicionalmente en sus concepciones acerca de la lógica y la aritmética, y se ha relegado a un segundo plano sus posturas con respecto a la geometria. Ahora bien, recientemente los argumentos propuestos por Frege en su polémica con Hilbert han recibido mayor atención por parte de los filósofos y matemáticos, lo cual, a su vez, ha propiciado el estudio de la concepción fregeana de la geometria. Sin embargo, basta echar sólo un vistazo a las recientes interpretaciones de la polémica Frege-Hilbert para percatarse de que la mayoría de los especialistas rechazan los argumentos de Frege en torno a la naturaleza de la geometria como absurdos, arbitrarios o irrelevantes.

Nuestro análisis pretende establecer que, si bien Frege estaba completamente equivocado al rechazar a las geometrias no euclidianas y al catalogar la obra de Hilbert como un fracaso, su postura acerca de los fundamentos de la geometria no es, en modo alguno, fútil, sino que, por el contrario, la misma nos permite obtener información importante sobre la interrelación entre los diversos sistemas geométricos, así como acerca de los fundamentos de la geometría en general. Como veremos, dicha interpretación de la postura de Frege se hace más plausible si tomamos en cuenta la metodología propuesta por el matemático alemán Karl von Staudt para justificar la introducción de los elementos ideales en la geometria proyectiva; metodologia que fue adoptada por Frege en su disertación doctoral y en los Fundamentos de la aritmética al proveer su definición del concepto de número natural.

À tales fines, nuestra tesis se dividirá en cuatro capítulos. En el primer capítulo se establece el contexto histórico del desarrollo de la geometria como ciencia sistemática, la cual tiene sus inícios en la antigua Grecia con la publicación de los Elementos de Euclides. Tras haber llevado a cabo una exposición general de la naturaleza de la geometría euclidiana según desarrollada por Euclides en su famosa obra, discutiremos la fundamentación epistemológica del conocimiento geométrico propuesta por Kant en sus escritos filosóficos, tomando en cuenta principalmente lo dicho por éste al respecto en su Crítica de la razón pura, concepción que vino a convertirse en la postura filosófica predominante durante el siglo XVII y principios del siglo XIX en torno a la natutaleza de la geometria. Finalmente, proveemos un recuento histórico de los acontecimientos que propiciaron el surgimiento de las geometrias no euclidianas en el siglo XIX, a los fines de poner en contexto las circunstancias que llevaron a la propuesta formalista de Hilbert.

En el segundo capítulo examinamos la concepción fregeana de la geometria dentro del matco de su programa logicista, tomando en cuenta, especificamente, los comentarios hechos por Frege en Los fundamentos de la aritmética acerca del conocimiento geométrico. En dicho capítulo, además, realizamos una exposición general de las principales nociones de la filosofía de Frege, tales como sus distinciones semánticas, lógicas, y ontológicas; con el propósito de sentar las bases para nuestra discusión de la postura adoptada por Frege en su polémica con Hilbert sobre los fundamentos de la geometria.

El tercer capítulo consiste en una exposición detallada de los Fundamentos de la geometría de Hilbert, en donde explicamos a fondo los aspectos esenciales de su metodologia formalista. A su vez, tras la dilucidación de la propuesta formalista hilbertiana, pasamos a discutir en dicho capítulo la polémica Frege-Hilbert concentrándonos en los argumentos presentados por ambos pensadores en su intercambio epistolar, así como también en los escritos subsiguientes de Frege Sobre los fundamentos de la geometria, en donde éste recoge y amplia las críticas que había hecho a Hilbert en su correspondencia.

Finalmente, en el cuarto capítulo realizamos una presentación de diversas interpretaciones de la polémica Frege-Hilbert, enfocándonos principalmente en tres artículos en los que se interpreta favorablemente la postura adoptada por Frege en la famosa polémica, dado el rechazo casi unánime de dicha postura por la mayoría de los exégetas. El resto del capítulo está dedicado completamente a la justificación de nuestra interpretación sobre la concepción fregeana de la geometria a la luz de un análisis exhaustivo de la obra de Frege desde el início de su carrera hasta la culminación de la misma, concentrándonos en los comentarios acerca de la geometría hechos por éste en sus escritos, así como en sus concepciones generales acerca del conocimiento científico, la lógica, y las matemáticas. Por último, proponemos una manera de levar a cabo una axiomatización de la geometria proyectiva a la Frege, la cual busca poner de manifiesto las ventajas de la concepción fregeana de la geometria frente a teorías formalistas como la de Hilbert.”

Félix A. Plaza Cortés

Volume – 74

ISSN: 0103-3247

Indice para catalogo sistematico

1. Geometria-Fundamentos 516.2 2.

2. Filosofia alemã 193

OBS. En el presente escrito se lleva a cabo un análisis exhaustivo de la concepción fregeana de la geometría a la luz del pensamiento filosófico kantiano, del surgimiento de las geometrías noeuclidianas, así como de la polémica epistolar que Frege tuvo con David Hilbert acerca del método axiomático y los fundamentos de la geometría.